浅谈PID微分器与滤波器

作者:电工吧 日期:2020-10-14 09:19:49 人气: 栏目:市场动态

0 前面的话

这篇文章肝了好久,控制有时候给人的感觉是披着数学外衣的,但是脱下外衣,发现还是控制,本文有一些基本的推导,无非是为最后的算法C实现做铺垫,最终目的是能在实践中进行应用和系统调优。

目录

0 前面的话

目录

1 先说噪声

2 噪声对于系统的影响

3 对于PID控制器的影响

4 加入滤波器

4.1 传递函数

4.2 串联微分的等效形式反馈积分

5 C语言实现

6 参考

1  先说噪声

在电子设备等电路系统中,噪声是不被系统需要的电信号;电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。在通信系统中,噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。

2  噪声对于系统的影响

噪声出现的第一个场景,当我们在教室里做英语听力,然后旁边的同学手机忽然来了一条短信,这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰,然后会发出哔哔哔的声音;

下面是一个正弦信号跌加噪声的例子,在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声,可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美,具体如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图1)

或者,很久很久以前,数字电视还没有普及,那时候的显像管的黑白电视,也容易出现这样的雪花一样的噪声,叠加在图片上就会出现这样的效果,具体如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图2)

从上述的例子中可以看到,噪声往往会对系统造成一定程度的影响,但是如果噪声的幅度减小到一定程度,对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。

下面做一个实验;在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声;从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片;  

然后我尝试提高了整幅图片的亮度,发现,噪点便开始出来了,这像极平时那些枪版影片的马赛克画质;整体的实验结果如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图3)

3 对于PID控制器的影响

既然噪声的幅度减小到一定程度,对于系统的影响可能就没有那么容易被发现,那么对理想的PID控制器又有什么影响呢?

不要忘了,在理想PID控制器中,微分控制器会对偏差的变化率(斜率)进行累加,从而产生积分器的输出;

对于微分器来说,即使噪声幅度足够小,但是只要达到足够高频率,偏差的变化率一样可以变得很大,下面举个例子;

这里有一个固定频率和赋值的噪声为信号1,这个信号可以表示为:

于是我们尝试将信号1的幅度减半,频率变为原来的两倍,得到了信号2:

以此类推,在信号2的基础上,幅度再减半,频率乘以2,得到信号3:

简单画了一下这个信号,具体如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图4)

假设分别取三个信号位于该点的斜率,从图中可以看到,斜率1,斜率2,斜率3是相同的,简单验证一下,在时刻,可以得到:

所以这里就是求复合函数的微分,由于选取的点比较特殊,发现最终计算得到的结果,因此也可以发现,即使减小了噪声的幅度,但是对于较高频率的噪声,依然会产生较大斜率。

遇到高频噪声,那么微分器会产生较大的输出,从而最终对系统造成影响,这是我们不希望出现的结果,因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入PID控制器的计算,这里就需要低通滤波器将噪声滤除。

4 加入滤波器

低通滤波器可以滤除高频信号,这样保留了有效信号,可以设置所需的截止频率;系统处理有效信号,由于低频部分信噪比较高,因此噪声对于系统的影响较小,而高频部分,信噪比就很低,这时候对于系统来说,噪声就会造成不小的影响,具体如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图5)

信噪比:有效信号和噪声的比值,英文名称叫做SNR或S/N(SIGNAL-NOISE RATIO);

所以下面我们会在PID控制器的微分部分加入低通滤波器,这样对反馈的信号进行一部分处理,从而减小系统干扰,如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图6)

4.1 传递函数

概念:拉普拉斯变换是对于 函数值不为零的连续时间函数 通过关系式 (式中为自然对数底的指数)变换为复变量的函数。它也是时间函数的“复频域”表示方式。

也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中,这样可以便于系统进行分析。

下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换:

积分:

微分:

低通滤波器的传递函数:

低通滤波器中的截止频率即为,单位是;

4.2 串联微分的等效形式反馈积分

串联等效传递函数的关系为,两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积;具体如下所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图7)

因此低通滤波串联微分的传递函数为:

闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图8)

这里我们可以使用负反馈积分的方式,构建等效于串联微分的传递函数,最终的传递函数结果是相同的,具体如下图所示;

浅谈PID微分器与滤波器(图9)

串联微分的形式,可能在算法的实现上会更加直观,但是会比较费资源;

使用负反馈积分的等效形式进行实现,则进一步减少了算法的资源消耗,下面给出一个TI公司的PID算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。

5 C语言实现

这里直接使用了TI公司的PID算法,对于微分部分做了滤波的处理,并且使用的是负反馈积分的方式,具体可以参考controlSUITElibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.hPID控制器的整体框图如下所示,我们只关心微分部分;

浅谈PID微分器与滤波器(图10)

首先可以发现满足:

这里滤波器有两个系数和,它们必须满足截止频率(单位Hz)和采样周期(单位秒)以下的关系:

C语言实现如下:

/* ================================================================================= File name:       PID_GRANDO.H  ===================================================================================*/ #ifndef __PID_H__ #define __PID_H__ typedef struct {  _iq  Ref;      // Input: reference set-point       _iq  Fbk;      // Input: feedback       _iq  Out;      // Output: controller output        _iq  c1;      // Internal: derivative filter coefficient 1       _iq  c2;      // Internal: derivative filter coefficient 2     } PID_TERMINALS;     // note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words typedef struct {  _iq  Kr;    // Parameter: reference set-point weighting        _iq  Kp;    // Parameter: proportional loop gain       _iq  Ki;       // Parameter: integral gain       _iq  Kd;           // Parameter: derivative gain       _iq  Km;           // Parameter: derivative weighting       _iq  Umax;   // Parameter: upper saturation limit       _iq  Umin;   // Parameter: lower saturation limit     } PID_PARAMETERS; typedef struct {  _iq  up;    // Data: proportional term       _iq  ui;    // Data: integral term       _iq  ud;    // Data: derivative term       _iq  v1;    // Data: pre-saturated controller output       _iq  i1;    // Data: integrator storage: ui(k-1)       _iq  d1;    // Data: differentiator storage: ud(k-1)       _iq  d2;    // Data: differentiator storage: d2(k-1)        _iq  w1;    // Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]     } PID_DATA; typedef struct {  PID_TERMINALS term;       PID_PARAMETERS param;       PID_DATA  data;     } PID_CONTROLLER; /*----------------------------------------------------------------------------- Default initalisation values for the PID objects -----------------------------------------------------------------------------*/                      #define PID_TERM_DEFAULTS {               0,                                0,                                0,                                0,               0                        } #define PID_PARAM_DEFAULTS {                               _IQ(1.0),                             _IQ(1.0),                              _IQ(0.0),                             _IQ(0.0),                             _IQ(1.0),                             _IQ(1.0),                             _IQ(-1.0)                      } #define PID_DATA_DEFAULTS {                                   _IQ(0.0),                             _IQ(0.0),                              _IQ(0.0),                             _IQ(0.0),                             _IQ(0.0),                              _IQ(0.0),                             _IQ(0.0),                             _IQ(1.0)                      } /*------------------------------------------------------------------------------   PID Macro Definition ------------------------------------------------------------------------------*/ #define PID_MACRO(v)                           /* proportional term */           v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk;                  /* integral term */            v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1,     (v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1;      v.data.i1 = v.data.ui;                           /* derivative term */            v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1,     (_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2; v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1;        v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2);                      /* control output */            v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp,          (v.data.up + v.data.ui + v.data.ud));       v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin);  v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);   #endif // __PID_H__

6 参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter 

自动控制原理 第五版 胡寿松 P47

虽然写的不一定是最好,但是每一个字、每一个公式都是用心码的,每一张图都是用心画的,每一句话都是加入了自己的理解;另外笔者能力有限,文中难免存在错误和纰漏,望轻拍指正。

责任编辑:xj

原文标题:PID微分器与滤波器的爱恨情仇

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